Analysis [Tenrece Tao] Chapter 3

集合论

定义3.1.1(非正式的) 我们把集合定义为任意一堆没有次序的东西，例如是一个集合。设是一个对象，如果在这一堆东西当中的话，我们就说是的一个元素，或，否则就是。

公理3.1(集合是对象) 若是集合，则也是一个对象，特别地，给定两个集合和，问A是不是B的一个元素是有意义的。

定义3.1.4(集合之相等) 两个集合和是相等的，，当且仅当的每个元素都是的元素而且的每个元素也都是的元素。

公理3.2(空集) 存在一个集合，叫作空集，它不含任何元素，也就是说，对于每个对象，都有。

引理3.1.6(单个选取) 设A是一个非空的集合，那么存在一个对象使得。

公理3.3(单元素集与双元素集) 若是一个对象，则存在一个集合，它的唯一的元素是，也就是说，对于每个对象，有当且仅当。我们把叫作单元素集(singleton)，其元素是。进而，若和是对象，则存在一个集，其仅有的元素是和，也就是说，对于每个对象，有当且仅当或 ；我们把此集合叫作由和构成的双元素集(pair set)。

公理3.4(双并) 给定两个集合，，存在一个集合，叫作和的并，其元素由属于或属于或同时属于两者的一切元素组成。换句话说，对于任何对象，$x \in A \cup B \iff (x \in A \ or\ x \in B)$

引理3.1.13 若和是对象，则。若，，是集合，则并运算是交换的，也是结合的。

定义3.1.15(子集) 设，是集合。说是的子集，记作 ，当且仅当的每个元素都是的元素，即对于任何对象，

$$x \in A \Longrightarrow x \in B$$

说是的真子集，记作，如果但。

命题3.1.18(集合的包含关系使集合是偏序的) 设，，是集合。如果且，则。如果且，则。最后，若且则。

公理3.5(分类公理) 设是一个集合，并对于每个，设是一个关于的性质(即或为一个真命题，或为一个假命题)。那么存在一个集合叫作(或简写为)，它的元素恰恰是中使成立的。换句话说，对于任何对象，

$$y \in \{x \in A:P(x)成立\} \iff (y \in A 且 P（y)成立$$

定义3.1.23(交) 两个集合和的交定义为集合

定义3.1.27(差集) 给定两个集合和，我们定义集合或为从集合中把中的任何元素都去掉所得的集合

命题3.1.28(集合构成布尔代数) 最小元、最大元、恒等式、交换律、结合律、分配律、分拆法、德摩根律。

公理3.6(替换) 设是一个集合.对于任意的对象和任意的对象,假设有一个命题依赖于和,使得对于每个存在至多一个,使成立.那么存在一个集合,使得对于任何对象z，

$$z \in \{y:P(x,y)对于某x \in A成立\} \iff (对于某x \in A，P(x,z)成立)$$

公理3.7(无穷大) 存在一个集合，其元素叫作自然数,是中的一个对象，而且由每个自然数所指定的满足公理(公理2.1~2.5)的对象也在中。

公理3.9(正则性) 如果是一个非空的集合，那么至少含有一个元素，它要么不是集合，要么与不相交。（基础公理)

定义3.3.1(函数) 设，是集合，并设是一个涉及对象及对象的性质，使得对于每个，恰有一个使得成立(有时叫作垂线测试(vertical line test))。那么我们定义由在定义域和值域上确定的函数是这样的对象，它对于给定的任意的输入，指定一个输出，它是唯一的使成立的对象。于是对于任何和，$y=f(x) \iff P(x,y)成立$。

定义3.3.7(函数相等) 具有相同的定义域和相同的值域的两个函数，叫作是相等的，记为，当且仅当对于一切，。

定义3.3.10(复合) 设和是两个函数，且的值域与的定义域是同一个集合。那么可以定义两个函数g与f的复合为一个函数，并由下面的式子来显式定义：

$(g \circ f)(x):=g(f(x))$。易证明遵循替换公理。

引理3.3.12(复合是结合的) 设都是函数，那么。

定义3.3.14(一对一函数)一个函数是一对一的(或单射)，如果它把不同的元素映成不同的元素:

$x \neq x^{'} \iff f(x) \neq f(x^{'})$。

定义3.3.17(映上的函数) 一个函数是映上的(或满射)，如果对每一个，存在使得。

定义3.3.20(双射函数) 既是一对一的又是映上的函数叫作双射函数或可逆函数。

定义3.4.1(集合的象) 如果是一个从到的函数，而是。的一个子集，定义是集合。这是的一个子集，称为在映射下的象，有时也称为前象。（替换/分类公理）

定义3.4.4(逆象) 如果是的一个子集,定义

公理3.10(幂集公理) 设和是集合。那么存在一个集合，记作，它由从到的一切函数组成。

公理3.11(并集) 设是集合，它的每个元素本身是一个集合。那么存在一个集合，它的元素确切地是的元素的元素，。

集合论的这些我们已引入的公理(公理3.1~3.11，除了危险的公理3.8之外)都叫作集合论的公理。

定义3.5.1(有序对) 如果和是两个对象(可以相等)，定义有序对为一个新的对象，称为它的第一个分量而为它的第二个分量。两个有序对和看作是相等的，当且仅当它们的两个分量分别相等。

定义3.5.4(笛卡儿乘积) 如果和是集合,那么我们定义笛卡儿乘积。

引理3.5.12(有限选择) 设是自然数，并且对于每个自然数,为一个非空的集合。那么存在一个元组使得对于一切,均有。

定义3.6.1(同样的基数) 说两个集合和具有同样的基数，当且仅当存在一个从到的双射。

定义3.6.5 设是自然数。一个集合叫作具有基数，当且仅当它与集合有同样的基数。具有个元素，当且仅当它有基数。

命题3.6.8(基数的唯一性) 设是一个具有某基数的集合。那么不能有另一个基数，也就是说，对于任何，不能又有基数。

引理3.6.9 假设，并且有基数，那么不空，并且如果是X的一个元素的话，那么集合有基数。

定义3.6.10(有限集) 一个集合是有限的，当且仅当它的基数是某个自然数;否则的话,集合叫作是无限的。如果是有限集，我们用代表的基数。